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欧几里得简要介绍,增添欧几里得算法

来源:http://www.operasage.com 作者:奥门新萄京8522 时间:2019-08-24 06:28

欧几里得(希腊共和国(The Republic of Greece)文:Ευκλειδη? ,约公元前330年—前275年),古希腊共和国(The Republic of Greece)化学家,被誉为“几何之父”。他活跃于托勒密一世(公元前323年-前283年)时代的Alerander里亚,他最显赫的着作《几何原来》是亚洲数学的基础,建议中国共产党第五次全国代表大会公式,发展欧几里得几何,被大范围的以为是历史上最成功的读本。欧几里得也写了某些有关透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品,是几何学的主要创小编。欧几里得算法以及对完全部的研究都对后人产生比不小影响。《几何原来》是古希腊(Ελλάδα)数学发展的顶峰,欧几里得使几何学成为一门独立的、演绎的不错。 人选一生 关于他的毕生一世,今后驾驭的比比较少。早年差相当的少就学于雅典,深知柏拉图的主义。公元前300年左右,在托勒密王(公元前364~前283)的约请下,来到Alerander,短期在那边专门的学业。他是一个人温良敦厚的文学家,对有志数学之士,总是教导有方。但不予不肯苦研、投机取巧的品格,也反对狭隘实用观点。据普罗克洛斯记载,托勒密王曾经问欧几里得,除了他的《几何原来》之外,还应该有未有其余学习几何的近便的小路。欧几里得回答说: “几何无王者之路。”意思是, 在几何里,未有专为天子铺设的通道。 那句话后来改成传播千古的就学箴言。Stowe贝乌斯记述了另一则旧事,说一个学员才起初学第一个命题,就问欧几里得学了几何学未来将赢得些什么。欧几里得说:给她多个钱币,因为她想在攻读中拿走收益。 欧几里得生于雅典,是Plato的上学的小孩子。他的无误活动首假使在亚云梦山大举行的,在那边,他树立了以她为首的数学学派。 欧几里得,以他的尤为重要着作《几何原来》而着称于世,他的干活重轮廓义在于把前人的数学成果加以系统的整理和总括,以严密的演绎逻辑,把树立在有些公理之上的初等几何学知识结合为四个简直的体系。欧几里得建设构造起来的几何学种类之严格和总体,就连20世纪最优良的大物农学家爱因Stan也不能够对她不另眼对待。 爱因Stan说:“一位当她最先接触欧几里得几何学时,若无为它的明晰性和可相信性所震惊,那么她是不会成为二个物军事学家的。” 《几何原本》中的数学内容也许未有稍微为他所创,可是至于公理的抉择,定理的排列以及部分连贯的辨证的确是他的功德,在那上头,他的行事出彩无比。 欧几里得的《几何原来》共有13篇,首先付诸的是概念和公理。比如他率先定义了点、线、面包车型客车概念。他整理的5条公理当中囊括: 1.从一些到另一自便点作直线是唯恐的; 2.颇具的直角都十一分; 3.a=b,b=c,则a=c; 4.若a=b则a c=b c等等。 那之中还应该有一条公理是欧几里得本人建议的,即:全部高于部分。固然那条公理不像别的公理那么一望便知,不那么轻巧为人接受,但那是欧氏几何中必需的,不可或缺的。他能提出来,那刚刚显示了他的资质,欧几里得除了创作主要几何学巨着《几何原来》外,还着有《数据》、《图形分割》、《论数学的伪结论》、《光学》、《反射光学之书》等着作。 欧几里得距离 欧几里得距离一般指欧几里得衡量,欧几里得衡量(euclidean metric)是三个一般采取的相距定义,指在m维上空中四个点之间的真实性距离,大概向量的当然长度(即该点到原点的偏离)。在二维和三个维度空间中的欧氏距离便是两点时期的实际距离。 欧几里得算法 欧几Reade算法又称辗转相除法,用于总计七个正整数a,b的最大合同数。 其总计原理注重于下边包车型客车定律: 定理:八个整数的最大公约数等于在这之中很小的那些数和两数的相除余数的最大公约数。最大合同数(greatest common divisor)缩写为gcd。 gcd = gcd(b,a mod b) (不要紧设a>b 且r=a mod b ,r不为0) 证法一 a能够表示成a = kb r(a,b,k,r皆为正整数),则r = a mod b 假设d是a,b的贰个左券数,记作d|a,d|b,即a和b都能够被d整除。 而r = a


欧几Reade算法又称辗转相除法,用于总括三个整数a,b的最大协议数。

【转载】

【转载】

  • kb,两侧同不常间除以d,r/d=a/d-kb/d=m,等式左侧可见m为整数,因而d|r 由此d也是(b,a mod b)的合同数 因而和(b,a mod b)的公约数是一模二样的,其最大公约数也料定相等,得证。 证法二 第一步:令c=gcd,则设a=mc,b=nc 第二步:可见r =a-kb=mc-knc=c 第三步:依照第二步结果可见c也是r的因数 第四步:能够料定m-kn与n互素【不然,可设m-kn=xd,n=yd,,则m=kn xd=kyd xd=d,则a=mc=dc,b=nc=ycd,故a与b最大协议数≥cd,而非c,与后边结论顶牛】 进而可见gcd=c,继而gcd=gcd,得证 以上三种方法实质平等的。 人物评价 欧几Reade是远古希腊共和国最负出名、最有影响的化学家之一,他是亚天门山大里亚学派的分子。欧几里德写过一本书,书名字为《几何原来》共有13卷。这一着作对于几何学、数学和不利的前程迈入,对于西方人的全套思维情势都有小幅的震慑。《几何原来》的要紧对象是几何学,但它还管理了数论、无理数理论等其余课题。欧几Reade使用了公理化的办法。公理正是规定的、不需表明的基本命题,一切定理都经过演绎而出。在这种演绎推理中,每一种验证必需以公理为前提,只怕以被验证了的定律为前提。这一办法后来成了创立任何文化种类的人之常情,在大概贰仟年间,被当成必得信守的紧密思维的圭臬。《几何原来》是古希腊语(Greece)数学发展的极限。

问题##

欧几Reade算法又称折腾相除法,用于总括四个正整数a,b的最大合同数。比如,gcd(50,15)=5。


 

一:欧几里得算法(辗转相除法)

一:欧几里得算法(辗转相除法)

证明##

其总结原理依赖于上边包车型客车定律:
定理:多少个整数的最大契约数等于当中十分小的那么些数和两数相除余数的最大左券数。最大协议数(greatest common divisor)缩写为gcd。
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0)

核心算法:设a=qb r,其中a,b,q,r都以整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

                       基本算法:设a=qb r,当中a,b,q,r都以整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

                       基本算法:设a=qb r,当中a,b,q,r都以整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

证法一##

a能够象征成a = kb r(a,b,k,r皆为正整数,且r<b),则r = a mod b
万一d是a,b的一个左券数,记作d|a,d|b,即a和b都能够被d整除。
而r = a - kb,两侧同一时候除以d,r/d=a/d-kb/d=m,由等式右侧可见m为整数,因而d|r
由此d也是b,a mod b的合同数
如果d是b,a mod b的协议数, 则d|b,d|(a-k*b),k是二个大背头,
进而d|a.因而d也是a,b的左券数
故此(a,b)和(b,a mod b)的契约数是一模二样的,其最大公约数也必将相等,得证。

 

证明:

证明:

证法二##

第一步:令c=gcd(a,b),则设a=mc,b=nc
第二步:可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
其三步:依据第二步结果可见c也是r的因子
第四步:能够看清m-kn与n互素【不然,可设m-kn=xd,n=yd,(d>1),则m=kn xd=kyd xd=(ky x)d,则a=mc=(ky x)dc,b=nc=ycd,故a与b最大左券数≥cd,而非c,与眼下结论冲突】
于是能够gcd(b,r)=c,继而gcd(a,b)=gcd(b,r),得证
小心:三种情势是有分其他。


率先种注明:

       a可以代表成a = kb r,则r = a mod b

       a可以代表成a = kb r,则r = a mod b

代码##

    public static long gcd(long m, long n) {
        while (n != 0) {
            long rem = m % n;
            m = n;
            n = rem;
        }
        return m;
    }

      a能够象征成a = kb r,则r = a mod b

  假若d是a,b的多少个公约数,则有

  借使d是a,b的贰个公约数,则有

分析##

如代码所示的算法计算gcd(M,N),假如M>=N(借使N>M,则循环的首先次迭代,将她们互相交流)。算法一而再计算余数直到余数是0结束,最终的非0余数正是最大公因数。因而,假如M=1989和N=1590,则余数种类为399,393,6,3,0。进而,gcd(1990,1590)=3。正如类别所注脚的,那是二个飞跃算法。

测度算法的凡事运营时刻依靠于规定余数系列毕竟有多少长度。明显logN看似像突出中的答案,不过根本看不出余数的值依据常数因子递减的必然性,因为大家见到余数从3九十七只是降到393.事实上,在一回迭代中余数并不遵从贰个常数因子递减。可是,大家能够证实,在三遍迭代后,余数最多是原本值得二分之一。

证明如果M>N,则M mod N < M/2如下:
留存二种处境。假设M<=M/2,则由于余数小于N,故定理在这种场合下一定创制。另一种景况则是M>M/2。不过此时M仅仅含有二个N,进而余数为M-N<M/2,定理得证。所以时间复杂度为O(logN)。

  若是d是a,b的二个左券数,则有

  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

  因而d是(b,a mod b)的合同数

  因而d是(b,a mod b)的合同数

  由此d是(b,a mod b)的公约数

  假如d 是(b,a mod b)的合同数,则

  倘使d 是(b,a mod b)的公约数,则

  假使d 是(b,a mod b)的公约数,则

  d | b , d |r ,但是a = kb r

  d | b , d |r ,但是a = kb r

  d | b , d |r ,但是a = kb r

  因而d也是(a,b)的公约数

  因而d也是(a,b)的左券数

  因而d也是(a,b)的协议数

  由此(a,b)和(b,a mod b)的合同数是同样的,其最大公约数也迟早相等,得证

  由此(a,b)和(b,a mod b)的合同数是千篇一律的,其最大协议数也自然相等,得证

  因而(a,b)和(b,a mod b)的协议数是相同的,其最大公约数也确定相等,得证

算法完成:

算法完毕:

 

int gcd(int a,int b) {             //递归算法  
    return b ? gcd(b, a%b) : a;  
}  

int gcd(int a, int b) {      //迭代算法  
    while(b) {  
        int c = a%b;  
        a = b;  
        b = c;  
    }  
    return a;  
}  
int gcd(int a,int b) {             //递归算法  
    return b ? gcd(b, a%b) : a;  
}  

int gcd(int a, int b) {      //迭代算法  
    while(b) {  
        int c = a%b;  
        a = b;  
        b = c;  
    }  
    return a;  
}  

其次种声明:

二   扩张欧几里得算法:

二   扩张欧几里得算法:

    要证欧几Reade算法创制,即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),个中gcd是取最大合同数的意味,r=a mod b
    下面证 gcd(a,b)=gcd(b,r)
    设  c是a,b的最大合同数,即c=gcd(a,b),则有 a=mc,b=nc,在那之中m,n为正整数,且m,n互为质数
    由 r= a mod b可知,r= a- qb 当中,q是正整数,
    则 r=a-qb=mc-qnc=(m-qn)c
    b=nc,r=(m-qn)c,且n,(m-qn)互质(假若n,m-qn不互质,则n=xd, m-qn=yd 个中x,y,d都是正整数,且d>1
                                                                则a=mc=(qx y)dc, b=xdc,那时a,b 的最大左券数变成dc,与前提顶牛,
                                                                 所以n ,m-qn一定互质)
    则gcd(b,r)=c=gcd(a,b)
    得证。

 

 

 

               基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大契约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax by。

               基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大协议数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax by。

算法的贯彻:

 

 

最简易的格局正是使用递归算法,代码如下:

   证明:设 a>b。

   证明:设 a>b。

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     if(b==0)
4         return a;
5     return 
6         gcd(b,a%b);
7 }

  1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

  1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

 

  2,ab!=0 时

  2,ab!=0 时

 

  设 ax1 by1=gcd(a,b);

  设 ax1 by1=gcd(a,b);

代码可优化如下:

  bx2 (a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

  bx2 (a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     return b ? gcd(b,a%b) : a;
4 }

  依照朴素的欧几Reade原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

  依照朴素的欧几Reade原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

 

  则:ax1 by1=bx2 (a mod b)y2;

  则:ax1 by1=bx2 (a mod b)y2;

 

  即:ax1 by1=bx2 (a-(a/b)*b)y2=ay2 bx2-(a/b)*by2;

  即:ax1 by1=bx2 (a-(a/b)*欧几里得简要介绍,增添欧几里得算法。b)y2=ay2 bx2-(a/b)*by2;

当然你也可以用迭代式样:

  依据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

  根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

 1 int Gcd(int a, int b)
 2 {
 3     while(b != 0)
 4     {
 5       int r = b;
 6       b = a % b;
 7       a = r;
 8     }
 9     return a;
10 }

      那样我们就获得了求解 x1,y1 的格局:x1,y1 的值基于 x2,y2.

      那样大家就收获了求解 x1,y1 的主意:x1,y1 的值基于 x2,y2.

 

   上边的思辨是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以终结。

   上边的思虑是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归能够终结。

//递归代码  
int exgcd(int a, int b, int&x, int&y) {  
   if (b == 0) {  
       x = 1;  
       y = 0;  
       return a;  
   }  
   int r = exgcd(b, a%b, y, x);  
   int t = x;  
   y = y - a/b*t;  
   return r;  
  }
   // 非递归算法  
int exgcd(int m, int n, int &x, int &y) {  
   int x1, y1, x0, y0;  
   x0 = 1; y0 = 0;  
   x1 = 0; y1 = 1;  
   x = 0; y = 1;  
   int r = m%n;  
   int q = (m-r)/n;  
   while(r) {  
       x = x0 - q*x1;  
       y = y0 - q*y1;  
       x0 = x1; y0 = y1;  
       x1 = x; y1 = y;  
       m = n; n = r; r = m%n;  
       q = (m-r)/n;  
   }  
   return n;  
}
//递归代码  
int exgcd(int a, int b, int&x, int&y) {  
   if (b == 0) {  
       x = 1;  
       y = 0;  
       return a;  
   }  
   int r = exgcd(b, a%b, y, x);  
   int t = x;  
   y = y - a/b*t;  
   return r;  
  }
   // 非递归算法  
int exgcd(int m, int n, int &x, int &y) {  
   int x1, y1, x0, y0;  
   x0 = 1; y0 = 0;  
   x1 = 0; y1 = 1;  
   x = 0; y = 1;  
   int r = m%n;  
   int q = (m-r)/n;  
   while(r) {  
       x = x0 - q*x1;  
       y = y0 - q*y1;  
       x0 = x1; y0 = y1;  
       x1 = x; y1 = y;  
       m = n; n = r; r = m%n;  
       q = (m-r)/n;  
   }  
   return n;  
}

刘汝佳的:

刘汝佳的:

void gcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y) {  
    if (!b) {d = a; x = 1; y = 0; }  
    else {gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }  
}  
void gcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y) {  
    if (!b) {d = a; x = 1; y = 0; }  
    else {gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }  
}  

地点求出的 x(当a>b时)都以最临近0的正整数。(不理解干什么)

地点求出的 x(当a>b时)都以最周边0的正整数。(不晓得干什么)

 

 

 

 

扩张欧几Reade算法的选拔关键有以下四个方面:

恢宏欧几Reade算法的选拔关键有以下多个地点:

(1)求解不定方程;

(1)求解不定方程;

(2)求解模线性方程(线性同余方程)与逆元;

(2)求解模线性方程(线性同余方程)与逆元;

 

 

 

 

(1)求解不定方程;

(1)求解不定方程;

  1.对于不定整数方程ax by=m,若 m mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解,不然空中楼阁整数解。

  1.对此不定整数方程ax by=m,若 m mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解,不然不设有整数解。

     证明:

     证明:

首先扩展欧几里德主要是用来与求解线性方程相关的问题,所以我们从一个线性方程开始分析。现在假设这个线性方程为a*x b*y=m,如果这个线性方程有解,那么一定有gcd(a,b) | m,即a,b的最大公约数能够整除m(m%gcd(a,b)==0)。证明很简单,由于a%gcd(a,b)==b%gcd(a,b)==0,所以a*x b*y肯定能够整除gcd(a,b),如果线性方程成立,那么就可以用m代替a*x b*y,从而得到上面的结论,利用上面的结论就可以用来判断一个线性方程是否有解。
  2.ax by=Gcd(a, b) 两侧相同的时候乘以 m/Gcd(a, b)得a(x*m/Gcd(a, b)) b(y*m/Gcd(a, b))=m;

首先扩展欧几里德主要是用来与求解线性方程相关的问题,所以我们从一个线性方程开始分析。现在假设这个线性方程为a*x b*y=m,如果这个线性方程有解,那么一定有gcd(a,b) | m,即a,b的最大公约数能够整除m(m%gcd(a,b)==0)。证明很简单,由于a%gcd(a,b)==b%gcd(a,b)==0,所以a*x b*y肯定能够整除gcd(a,b),如果线性方程成立,那么就可以用m代替a*x b*y,从而得到上面的结论,利用上面的结论就可以用来判断一个线性方程是否有解。
  2.ax by=Gcd(a, b) 两侧同时乘以 m/Gcd(a, b)得a(x*m/Gcd(a, b)) b(y*m/Gcd(a, b))=m;

地点已经列出找二个整数解的法子,在找到 a*x  b*y = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后,不定方程ax by=m的一组解满意 x = m(x0)/gcd , y = m*(y0)/gcd;
之所以通解为  x = m*(x0)/gcd k*lcm/a , y = m*(y0)/gcd k*lcm/b (个中k为大肆整数);
证明:

地点已经列出找二个整数解的办法,在找到 a*x  b*y = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后,不定方程ax by=m的一组解满足 x = m(x0)/gcd , y = m*(y0)/gcd;
为此通解为  x = m*(x0)/gcd k*lcm/a , y = m*(y0)/gcd k*lcm/b (当中k为跋扈整数);
证明:

      令a1=a/gcd(a,b),b1=b/gcd(a,b),m1=m/gcd(a,b)。那么x,y的一组解就是x0*m1,y0*m1,但是由于满足方程的解无穷多个,在实际的解题中一般都会去求解x或是y的最小正数的值。以求x为例,又该如何求解呢?还是从方程入手,现在的x,y已经满足a*x b*y=m,那么a*(x n*b) b*(y-n*a)=m显然也是成立的。可以得出x n*b(n=…,-2,-1,0,1,2,…)就是方程的所有x解的集合,由于每一个x都肯定有一个y和其对应,所以在求解x的时候可以不考虑y的取值。取k使得x k*b>0,x的最小正数值就应该是(x k*b)%b,但是这个值真的是最小的吗??如果我们将方程最有两边同时除以gcd(a,b),则方程变为a1*x b1*y=m1,同上面的分析可知,此时的最小值应该为(x k*b1)

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